Proof within mathematics depends en

Proof within mathematics depends entirely on logic applied to previously agreed truths, whereas proof outside of mathematics often accepts data (evidence), likelihood, and precedents, as factors. Even so, the fact that the same word is chosen for both styles of thinking suggests that these two kinds of “proof” have something in common.Mathematics should not replace the kind of logic kids otherwise use, but should surely augment it, especially starting at a time when kids naturally “study” this kind of argumentation on their own! As students learn mathematical proof, they should consistently see how it relies on—and builds on and refines—their own good sense.Students don’t need to know the names of different kinds of proofs, or any such formalities. They do need to recognize the difference between a wild guess, a conjecture, and a proven assertion. And they do need to develop the inclination to wonder why things are as they are, to expect reasons, and—when possible—even provide a logical chain of reasons as the explanation. They also need to experience a variety of proof styles (expressed in developmentally appropriate ways). These might include any of the styles shown above: the constructive build-a-model approach with the Cuisenaire rods to investigate the skip-counting-by-three experiment; the raw logic (or exhaustive testing) that works on the Liar-Truthteller puzzles; and the healthy skepticism that leads students to find a counterexample in the perimeter and area problem.Habit of Mind 3: Distinguishing between Agreement and Logical NecessityLife outside mathematics involves rules, for example, the rule of not interrupting a person when that person is talking. This rule is purely a social convention, a “given.” It can even be broken without causing any trouble at all when friends are close and conversation is casual—that is, when all parties agree. The source of authority is just social agreement.Mathematics also involves rules. For example, in late elementary school, many curricula teach what is called “the order of operations.” In an expression like 3 + 4  5 + 1, one might imagine performing the arithmetic from left to right, adding 3 and 4, thenmultiplying by 5, and finally adding 1 to get 36 as a result. By agreement, however, we don’t do that: we perform multiplication and division before addition or subtraction. In this case, that means that the 4  5 is done first leaving us with 3 + 20 + 1, or 24, as aresult. Why this rule is chosen is pure convention, designed, like definitions, to serve only one master: usefulness. The source of authority is social agreement, for the sake of clear communication and useful results.Now consider another mathematical rule, the rule that two lengths may be added only if they are expressed in the same units. Three feet plus 24 inches is not 27 of anything: it is either 5 feet or 60 inches (or 1.666… yards, and so on). Likewise, three nickels and two dimes cannot be added until the units are the same: they can be jointly regarded as coins, in which case the sum is “5 coins” or they can jointly be regarded as cents, in which case the sum is “35 cents.” This rule is not based on social agreement; it is logically necessary in order for addition to make sense, and (therefore) it applies across the board to addition

النتائج (العربية) 1:

دليل ضمن الرياضيات تعتمد اعتمادا كليا على المنطق ينطبق على الحقائق المتفق عليها سابقا، في حين خارج واقية من الرياضيات كثيرا ما يقبل البيانات (دليل)، احتمال، والسوابق، والعوامل. وحتى مع ذلك، فإن حقيقة أن نفس الكلمة يتم اختيار لكل من أنماط التفكير يوحي بأن هذين النوعين من "دليل" لديها شيء مشترك.
يجب أن الرياضيات لا يحل محل هذا النوع من الاطفال منطق استخدام خلاف ذلك، ولكن بالتأكيد يجب أن تزيد، وخصوصا ابتداء من وقت الأطفال بشكل طبيعي "الدراسة" هذا النوع من الحجج من تلقاء نفسها! كما يتعلم الطلاب البرهان الرياضي، يرونه دائما كيف أنه يعتمد على ويبني على وتهذب-خاصة بهم جيدة معنى.
لا يحتاج الطلاب إلى معرفة أسماء أنواع مختلفة من البراهين، أو أي إجراءات من هذا القبيل. لا حاجة لهم التعرف على الفرق بين تخمين البرية، والتخمين، والتأكيد ثبت. وأنها لا تحتاج إلى تطوير الميل إلى ندري لماذا الأمور كما هي، لتتوقع الأسباب، وعندما تقدم ممكن، حتى سلسلة منطقية من الأسباب كما شرح. كما انها تحتاج الى تجربة مجموعة متنوعة من الأساليب واقية (معبرا في الطرق المناسبة تنمويا). ويمكن أن تشمل هذه أي من الأساليب المبينة أعلاه: نهج بناء واحد في نموذج البناء مع قضبان Cuisenaire للتحقيق في التجربة تخطي العد والفرز من قبل ثلاثة. منطق الخام (أو اختبار شامل) الذي يعمل على الألغاز كذاب-Truthteller. والتشكك الصحي الذي يؤدي الطلاب لإيجاد بالدليل في مشكلة محيط والمنطقة.
عادة العقل 3: التمييز بين الاتفاق وضرورة المنطقية
الحياة خارج الرياضيات تتضمن قواعد، على سبيل المثال، وحكم لا انقطاع شخص إذا كان ذلك الشخص يتحدث. هذه القاعدة هي محض التقاليد الاجتماعية، و "معين." ويمكن حتى يمكن كسرها دون أن تسبب أي مشكلة على الإطلاق عندما أصدقاء قريبون ومحادثة عارضة، وهذا هو، وعندما تتفق جميع الأطراف. مصدر السلطة هو مجرد اتفاق اجتماعي.
كما ينطوي الرياضيات القواعد. على سبيل المثال، في مدرسة ابتدائية في وقت متأخر، وكثير من تعليم المناهج ما يسمى "ترتيب العمليات". وفي تعبير مثل 3 + 4  5 + 1، يمكن للمرء أن يتصور إجراء العمليات الحسابية من اليسار إلى اليمين، مضيفا 3 و 4، ثم
ضرب من قبل 5، وأخيرا بإضافة 1 للحصول على 36 نتيجة لذلك. بالاتفاق، ومع ذلك، نحن لا نفعل ذلك: نحن أداء الضرب والقسمة قبل الجمع أو الطرح. في هذه الحالة، يتم هذا يعني أن 4  5 ترك لنا أولا مع 3 + 20 + 1، أو 24، وذلك
نتيجة. لماذا هذه القاعدة يتم اختياره لاتفاقية نقية، تصميم، مثل التعاريف، لخدمة رئيسية واحدة فقط: فائدة. مصدر السلطة هو اتفاق الاجتماعي، من أجل التواصل واضحة ونتائج مفيدة.
لنتأمل الآن قاعدة رياضية أخرى، وحكم بأن اثنين من أطوال يمكن إضافة إلا إذا تم التعبير عنها في نفس الوحدات. بالإضافة إلى ثلاثة أقدام 24 بوصة ليست 27 من أي شيء: فهو إما 5 أقدام و 60 بوصات (أو 1.666 ... ياردة، وهلم جرا). وبالمثل، لا يمكن إضافة ثلاث النيكل واثنين من الدايمات حتى الوحدات هي نفسها: فهي يمكن اعتبار معا من القطع النقدية، وفي هذه الحالة المبلغ هو "5 النقود" أو أنها يمكن أن معا اعتبار سنتا، وفي هذه الحالة المبلغ "35 سنتا" لا تقوم هذه القاعدة على اتفاق الاجتماعي؛ فمن الضروري منطقيا لكي بالإضافة إلى جعل المعنى، و(لذلك) فإنه يطبق في جميع المجالات لإضافة

النتائج (العربية) 2:

الإثبات داخل الرياضيات يعتمد كليا علي المنطق المطبق علي الحقائق المتفق عليها سابقا ، في حين ان الدليل خارج الرياضيات غالبا ما يقبل البيانات (الادله) ، والاحتمالات ، والسوابق ، كعوامل. وحتى مع ذلك ، فان حقيقة ان يتم اختيار نفس الكلمة لكل من أنماط التفكير يوحي بان هذين النوعين من "برهان" لديهم شيء مشترك.
الرياضيات لا ينبغي ان تحل محل هذا النوع من الأطفال منطق استخدام خلاف ذلك ، ولكن ينبغي بالتاكيد زيادته ، وخاصه بدءا من وقت عندما الأطفال بطبيعة الحال "دراسة" هذا النوع من الجدل من تلقاء نفسها! وبما ان الطلاب يتعلمون الدليل الرياضي ، فانهم يجب ان يروا باستمرار كيف يعتمدون علي الحس السليم الخاص بهم-ويبني عليه وينقيه.
الطلاب لا يحتاجون إلى معرفه أسماء أنواع مختلفه من البراهين ، أو اي من هذه الشكليات. انهم بحاجه إلى التعرف علي الفرق بين تخمين البرية ، والتخمين ، وتاكيد مؤكد. وهم بحاجه إلى تطوير الميل لنتساءل لماذا الأمور كما هي ، لتوقع الأسباب ، و-عندما يكون ذلك ممكنا-حتى توفير سلسله منطقيه من الأسباب كتفسير. كما انها تحتاج إلى تجربه مجموعه متنوعة من أساليب الإثبات (معبرا عنها بطرق ملائمة للتطوير). وقد تتضمن هذه الأساليب أيا من الأنماط المبينة أعلاه: النهج البناء-النموذجي البناء مع قضبان قضبان للتحقيق في تجربه تخطي العد بثلاثه ؛ المنطق الخام (أو اختبار شامل) الذي يعمل علي الغاز كذاب-تروثتيلير ؛ والشكوك الصحية التي تقود الطلاب للعثور علي مثال مضاد في محيط ومشكله المنطقة.
عاده العقل 3: التمييز بين الاتفاق والضرورة المنطقية
الحياة خارج الرياضيات تنطوي علي قواعد ، علي سبيل المثال ، قاعده عدم مقاطعه شخص عندما يتحدث هذا الشخص. هذه القاعدة هي مجرد اتفاقيه اجتماعيه ، "معطي". ويمكن حتى ان تكون مكسوره دون التسبب في اي مشكله علي الإطلاق عندما يكون الأصدقاء قريبين والمحادثة هي عارضه-وهذا هو ، عندما تتفق جميع الأطراف. ومصدر السلطة هو مجرد اتفاق اجتماعي.
وتنطوي الرياضيات أيضا علي قواعد. فعلي سبيل المثال ، في المدرسة الابتدائية المتاخره ، يدرس العديد من المناهج ما يسمي "ترتيب العمليات". في تعبير مثل 3 + 4  5 + 1 ، قد يتصور المرء أداء الحساب من اليسار إلى اليمين ، مضيفا 3 و 4 ، ثم
ضرب 5 ، وأخيرا أضافه 1 للحصول علي 36 نتيجة لذلك. ولكن بالاتفاق ، فاننا لا نفعل ذلك: اننا نقوم بالضرب والقسمة قبل الجمع أو الطرح. في هذه الحالة ، وهذا يعني ان يتم 4  5 أولا ترك لنا مع 3 + 20 + 1 ، أو 24 ،
نتيجه. لماذا يتم اختيار هذه القاعدة هو اتفاقيه بحته ، مصممه ، مثل التعاريف ، لخدمه سيد واحد فقط: فائده. ومصدر السلطة هو الاتفاق الاجتماعي ، من أجل الاتصال الواضح والنتائج المفيدة.
الآن النظر في قاعده رياضيه أخرى ، القاعدة التي قد يتم أضافه أطوال اثنين فقط إذا تم التعبير عنها في نفس الوحدات. ثلاثه اقدام بالاضافه إلى 24 بوصه ليست 27 من اي شيء: هو اما 5 اقدام أو 60 بوصه (أو 1.666... ياردة ، وهلم جرا). بالمثل, ثلاثه نيكل واثنان [ديميس] يستطيع لا يكون أضفت حتى الوحدات ال نفس: هم يستطيع كنت بشكل مشترك اعتبرت كعمله معدنيه, في اي حاله المبلغة "5 عملات" أو هم يستطيعون بشكل مشترك كنت اعتبرت كسنتات, [أين لي حال] المبلغة "35 سنت." ولا تستند هذه القاعدة إلى الاتفاق الاجتماعي ؛ هو ضرورية منطقيا [أين وردر تو] أضافه ان يجعل معني, و (لذلك) يطبق هو في المجلس إلى أضافه

النتائج (العربية) 3:

البراهين الداخلية في الرياضيات تعتمد كليا على المنطق الذي يطبق على الحقائق المتفق عليها سابقا ، في حين أن الأدلة الرياضية الخارجيةوحتى مع ذلك ، فإن حقيقة أن كل من اثنين من طرق التفكير قد اختارت نفس الكلمة
الرياضيات لا ينبغي أن تحل محل المنطق الذي يستخدمه الأطفال أصلا ، ولكن يجب أن تكون بالتأكيد توسيع ، لا سيما عندما يكون الأطفالعندما يتعلم الطلاب الرياضيات دليل ، يجب أن نرى دائما كيف أنها تعتمد على بناء وتطوير
الطلاب لا تحتاج إلى معرفة أسماء مختلفة من الشهادات و لا تحتاج إلى معرفة أي من هذه الإجراءاتانهم حقا بحاجة الى معرفة الفرق بين جنون التخمين ، التخمين ، تأكيد تأكيدأنها حقا بحاجة إلى تطوير هذا الاتجاه ، أي أن يتساءل لماذا الأمور تبدو كما هي ، نتوقع أن يكون هناك سبب ، حتى عندما يكون ذلك ممكنا ، تقديم سلسلة من الأسباب المنطقيةكما أنها تحتاج إلى أن تذهب من خلال مجموعة متنوعة من أساليب الإثباتهذه يمكن أن تشمل أي من الأساليب المذكورة أعلاه ، أي طريقة بناء نموذج باستخدام شريط كويزنير ، دراسة القفز العد من خلال ثلاث تجارب ، المنطق البدائي أو اختبارات مفصلة عن دور كذاب تروتلير الألغاز ، وتوجيه الطلاب إلى إيجاد أمثلة مضادة في محيط المنطقة الصحية الشكوكسؤال
عادة التفكير 3-discernibility والاتساق ضرورة منطقية
الحياة خارج الرياضيات تتكون من قواعد ، على سبيل المثال ، عندما يتحدث الشخص دون كسرهذه القاعدة هي مجرد عادة اجتماعية ، نوع من إعطاء ، عندما تكون العلاقة الحميمة بين الأصدقاء ، التحدث بحرية ، وهذا هو ، عندما يتفق الطرفان على أنه حتى يمكن كسر دون التسبب في أي مشكلةمصدر السلطة هو الاتساق الاجتماعي
الرياضيات تنطوي أيضا على قواعدفي وقت متأخر من المدرسة الابتدائية ، على سبيل المثال ، العديد من الدورات التي تدرس ما يسمى تسلسل العمليات الحسابية ، يمكن للمرء أن يتصور أن تنفيذ العمليات الحسابية من اليسار إلى اليمين ، بالإضافة إلى
مضروبة في 5.5 ، وأخيرا إضافة 1 للحصول على 36ومع ذلك ، وفقا للاتفاق ، ونحن لن نفعل ذلك ، ونحن تنفيذ الضرب والقسمة قبل الجمع والطرحفي هذه الحالة ، وهذا يعني أن 4-x-5 الانتهاء أولا ، وترك
رالسبب في اختيار هذه القاعدة هو مجرد اتفاق ، التصميم هو نفسه كما هو محدد ، فقط لخدمة المالكمصدر السلطة هو الهوية الاجتماعية ، والغرض من ذلك هو التواصل الواضح والنتائج المفيدة
الآن النظر في قاعدة رياضية أخرى ، اثنين من أطوال يمكن أن تضاف إلا إذا كانت ممثلة في نفس الوحدةقدم زائد 24 بوصة لا 27 بوصة هو خمسة أقدام أو بوصةوبالمثل ، لا يمكن الجمع بين ثلاثة سنتات النيكل مع اثنين من القطع النقدية ، ما لم تكن الوحدة نفسها ، فإنها يمكن أن ينظر إليها على أنها عملات معدنية ، في هذه الحالة ، مجموع خمس عملات معدنية ، أو أنها يمكن أن ينظر إليها على أنها سنتات ، في هذه الحالة ، مبلغمن أجل جعل إضافة معنى ، فمن الضروري منطقيا ، وبالتالي فإنه ينطبق على ذلك