Deviation of gases from the ideal s

Deviation of gases from the ideal state
We start from the case of a weakly non-ideal gas where the only pair interaction is important.
The simplest case is the monoatomic gas where the interaction potential depends only on the
distance between the atoms. Since
H (p,q) = ∑a
p
2
a
2m
+V
we can write the free energy as
F = Fid +Fi
,
Fi = −T log·
1
VN
Z
···Z
e
−βV(q) ∏a
dVa
¸
.
Here Fid is the free energy of the ideal gas. The factor V
−N in the argument of the logarithm is
just because for the ideal gas the integral over the volume is V
N. It is convenient to rewrite the
above expression in the form
F = Fid −T log·
1+
1
VN
Z
···Z ³
e
−βV(q) −1
´
dV1 ...dVN
¸
.
Now let us make use of the assumption that the gas is rarefied and only two atoms can collide at
the same time. Then the integrand is not small only if some two atoms are close together. Such
a pair can be extracted in N(N−1)/2 ways. Thus the integral can be expresses as
N(N−1)
2VN
Z
···Z ³
e
−βV12 −1
´
dV1 ...dVN ≈
N
2
2V2
Z ³
e
−βV12 −1
´
dV1 dV2 .
Here V12 is the pair interaction potential. Since log(1+x) ≈ x at x ¿ 1 and the gas density N/V
is assumed to be small,
Fi = −
T N2
2V2
Z ³
e
−βV12 −1
´
dV1 dV2 .
129
130 CHAPTER 10. NON-IDEAL GASES
Since the interaction depends only on the distance between the atoms we can integrate out the
center of mass and get V. In this way we are left with the expression
Fi =
T N2
V
B(T), B(T) = 1
2
Z ³
1−e
−βV12´
dV,
where dV stands for relative coordinates. Since P = −∂F /∂V we obtain the following correction
to the equation of state,
P =
NT
V
·
1+
N
V
B(T)
¸
.
The corrections to other thermodynamic potentials can be found using the principle of small
increments. For example, Gi = NBP.
A typical dependence of the interaction potential energy is shown in Fig. 10.1
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
V
3
2
1
0
-1 2r0
F

النتائج (العربية) 1:

الانحراف المعياري للغازات من الدولة المثاليةأننا ننطلق من القضية من ضعيف غير-غاز مثالية حيث تفاعل الزوج فقط المهم.هو أبسط حالة غاز أحادي الذرة التي يتوقف فيها التفاعل المحتملة فقط علىالمسافة بين الذرات. ومنذح (p, q) = ∑aف2أم 2+ Vيمكن أن نكتب الطاقة الحرةF = Fid + وأي فأي,وأي فأي = −T log·1VNZ··· Zه−βV(q) ∏aيترقبون¸.هنا هو Fid الطاقة الحرة من غاز مثالية. العامل الخامس−N في الوسيطة لوغاريتملمجرد أن لغاز مثالية المتكاملة عبر وحدة التخزين هو الخامسأ. أنها ملائمة لإعادة كتابةالتعبير في النموذج أعلاهF = Fid −T log·1 +1VNZ··· Z ³ه1 −βV(q)´dV1....dVN¸.الآن فلنجعل استخدام الافتراض بأن الغاز هو النظرة ويمكن أن تصطدم ذرات اثنين فقط فينفس الوقت. ثم تكاملية ليست صغيرة فقط إذا كان بعض الذرات اثنين قريبة من بعضها البعض. مثل هذاويمكن استخراج زوج في ن (N−1)/2 طرق. وهكذا يمكن أن يكون التكامل تعربN(N−1)2VNZ··· Z ³ه1 −ΒV12´dV1...dVN ≈N22V2Z ³ه1 −ΒV12´dV1 dV2.هنا هو V12 زوج التفاعل المحتملة. منذ log(1+x) ≈ x في x 1 وكثافة الغاز N/Vويفترض أن تكون صغيرة،وأي فأي = −T N22V2Z ³ه1 −ΒV12´dV1 dV2.129الفصل 10 من 130. غازات غير مثاليةمنذ التفاعل يعتمد فقط على المسافة بين الذرات ونحن يمكن أن تدمج بهامركز الكتلة واحصل على الخامس. وبهذه الطريقة يتم تركنا مع التعبيروأي فأي =T N2VB(T)، B(T) = 12Z ³1−e−ΒV12´ظفرحيث يقف العنف المنزلي لإحداثيات نسبية. منذ P =/∂V −∂F نحصل على التصويب التاليإلى المعادلة للدولة،P =NTV·1 +NVB(T)¸.يمكن الاطلاع على التصويبات الأخرى إمكانات دينامي حراري باستخدام مبدأ الصغيرةالعلاوات الدورية. على سبيل المثال، غي = NBP.اعتماد نموذجي للطاقة إمكانات التفاعل هو مبين في الشكل 10.10.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2V3210-1 2r0و

النتائج (العربية) 3:

وهذا من الملاحظ حدوث اختراع "غرفة مظلمة