and implementation details. In Sect

and implementation details. In Section 4 we demonstrate the efficiency of the FEM-BEM algorithm for simulating wave propagation in two distinct classes of (smooth and non-smooth) heterogenous media.2 Decomposition framework and well-posedness analysisLet Ω0 Rm, m = 2, 3, be a bounded domain. The ratio of the speed of wave propagation inside the heterogeneous (and not necessarily connected) region Ω0 and on its free-space exterior Ωc := Rm Ω0 is described through a refractive index function n that we assume in this articleto be piecewise smooth with 1 − n having compact support in Ω0 (i.e, n|Ωc ≡ 1).The main focus of this article is to study the wave propagation in Rm, induced by theimpinging of an incident wave uinc, say, a plane wave with wavenumber k > 0. More precisely, the continuous wave propagation model is to find the total field u(:= us + uinc) ∈ H1 (Rm) that satisfies the Helmholtz equation and the Sommerfeld RC:∆u + k2n2 u = 0, in Rm, (2.1) . ∂ us − ikus = o(|r| m+1 ), as |r| → ∞.It is well known that (2.1) is uniquely solvable [36]. (Later in this section, we introduce the classical Sobolev spaces Hs, for s ≥ 0, with appropriate norms.) A decomposition frameworkThe heterogeneous-homogeneous model problem (2.1) is decomposed by introducing two artifi- cial curves/surfaces Γ and Σ with interior Ω1 and Ω2 respectively satisfying Ω0 Ω1 Ω1 Ω2. We assume from now on that Γ is smooth and Σ is a polygonal/polyhedral boundary. A sketch of the different domains is displayed in Figure 1. Henceforth, Ωc := Rm Ωi, i = 0, 1, 2.We introduce the following decomposed heterogeneous and homogeneous media auxiliarymodels:For a given function f inp H1/2(Σ), we seek a propagating wave field w so that w and its trace γΣw on the boundary Σ satisfy ∆w + k2n2 w = 0, in Ω2, (2.2) Throughout the article, we assume that this interior problem is uniquely solvable. We introduce the following operator notation for the heterogeneous auxiliary model: For any Lipschitz m- or (m 1)-dimensional (domain or manifold) D Ω2, we define the solution operator KDΣ associated with the auxiliary model (2.2) asKDΣf inp := w|D. (2.3)Two cases will be of particular interest for us: KΩ Σf inp, which is nothing but w satisfy-2 Σing (2.2), and KΓΣf inp = γΓw, the trace of the solution w of (2.2) on Γ⊂ Ω2.

النتائج (العربية) 1:

وتفاصيل التنفيذ. في القسم 4 ونحن لشرح كفاءة الخوارزمية FEM-BEM لمحاكاة انتشار الموجات في فئتين متميزتين من (سلس وغير سلس) وسائل الإعلام غير متجانسة.

2 التحلل إطار وتحليل posedness جيدا
دعونا Ω0 رو، م = 2، 3، يكون مجال يحدها. نسبة سرعة انتشار الموجات داخل متجانسة (ولم تقم بالضرورة) المنطقة Ω0 وفي الخارج في الفضاء الحر في Ωc: = يوصف رو Ω0 من خلال وظيفة مؤشر الانكسار ن أن نفترض في هذه المقالة
إلى أن تسهيل دالة متعددة التعريف مع 1 - ن وجود دعم المضغوط في Ω0 (أي، ن | Ωc ≡ 1).
المحور الرئيسي لهذا المقال هو دراسة انتشار الموجات في رو، الناجمة عن
تؤثر من موجة uinc الحادث، ويقول، موجة الطائرة مع متجه مموج موجه ك> 0. وبعبارة أدق،

نموذج انتشار الموجات المستمر هو العثور على حقل الإجمالي ش (: = لنا + uinc) ∈ H1

(روم) أن

يرضي المعادلة هيلمهولتز وسمرفلد RC:
Δu + k2n2 ش = 0، في رو،



(2.1)

. ∂ لنا - ikus = س (| ص | م + 1)، و| ص | → ∞.

ومن المعروف أن (2.1) غير قابلة للحل فريد [36]. (في وقت لاحق في هذا القسم، ونحن نقدم المساحات سوبوليف الكلاسيكية النظام المنسق، لق ≥ 0، مع المعايير المناسبة.)

إطار التحلل
وتتحلل مشكلة نموذج غير متجانسة متجانسة (2.1) من خلال إدخال اثنين من منحنيات CIAL اصطناعي / السطوح Γ وΣ مع الداخلية Ω1 وΩ2 على التوالي تلبية Ω0 Ω1 Ω1 Ω2. ونحن نفترض من الآن فصاعدا أن Γ على نحو سلس وΣ هو متعدد الأضلاع / متعدد السطوح الحدود. يتم عرض رسم من المجالات المختلفة في الشكل 1. من الآن فصاعدا، Ωc: = رو Ωi، ط = 0، 1، 2.
ونحن نقدم ما يلي تتحلل وسائل الإعلام المساعدة غير متجانسة ومتجانسة
نماذج:

للحصول على وظيفة معينة و الشرطة الوطنية العراقية H1 / 2 ( Σ)، ونحن نسعى حقل موجة التكاثر ث بحيث ث ولها أثر γΣw على الحدود Σ يرضي


Δw + k2n2 ث = 0، في Ω2،

(2.2)




في جميع أنحاء المادة، ونحن نفترض أن هذه المشكلة الداخلية قابلة للحل بشكل فريد. ونحن نقدم تدوين المشغل التالية لنموذج مساعدة غير متجانسة: للحصول على أي يبشيز م- أو (م 1) الأبعاد (المجال أو متعددة) D Ω2، نحدد KDΣ المشغل حل المرتبطة نموذج مساعد (2.2) كما
KDΣf الشرطة الوطنية العراقية: = ث | D. (2.3)
حالتين ستكون ذات أهمية خاصة بالنسبة لنا: أوم Σf الشرطة الوطنية العراقية، التي ليست سوى ث satisfy-
2 Σ
جي (2.2)، وKΓΣf الشرطة الوطنية العراقية = γΓw، وأثر من الحل w من (2.2) على Γ⊂ Ω2.

النتائج (العربية) 2:

وتفاصيل التنفيذ. في القسم 4 ونحن نظهر كفاءه خوارزميه فيم-BEM لمحاكاة انتشار موجه في فئتين متميزة من (علي نحو سلس وغير سلس) وسائل الاعلام غير متجانس.

2 اطار التحلل والتحليل الجيد
اسمحوا Ω0 Rm ، م = 2 ، 3 ، يكون مجالا يحدها. نسبه سرعه انتشار الموجه داخل المنطقة غير المتجانسة (وليس بالضرورة متصلة) Ω0 وعلي المساحة الخارجية الحرة Ωc: = Rm Ω0 يوصف من خلال داله مؤشر الانكسار ن ان نفترض في هذه المقالة
لpiecewise علي نحو سلس مع 1 − n وجود دعم المدمجة في Ω0 (اي ، n | Ωc ≡ 1).
التركيز الرئيسي لهذه المادة هو دراسة انتشار موجه في Rm ، التي يسببها
الاصطدام من موجه الحادث uinc ، ويقول ، موجه الطائرة مع ك wavenumber > 0. وبمزيد من الدقة ،

نموذج انتشار موجه مستمرة هو العثور علي الحقل الكلي ش (: = لنا + uinc) ∈ H1

(Rm) ان

يرضي المعادلة هيلهولتز وارسي سومرفيلد:
∆ u + k2n2 u = 0 ، في Rm ،

(2.1)

. ∂ us − ikus = o (| r | m + 1) ، كما | r | ←

ومن المعروف جيدا ان (2.1) قابله للحل بشكل فريد [36]. (في وقت لاحق في هذا القسم ، ونحن نقدم الكلاسيكية المساحات Sobolev Hs ، ل s ≥ 0 ، مع المعايير المناسبة.)

اطار التحلل
وتتحلل مشكله النموذج غير المتجانسة والمتجانسة (2.1) عن طريق إدخال منحنيين ارتيفي/السطوح Γ و Σ مع الداخلية Ω1 و Ω2 علي التوالي إرضاء Ω0 ω1 ω1 Ω2. ونحن نفترض من الآن فصاعدا ان Γ علي نحو سلس و Σ هو الحدود المضلعة/متعددة السطوح. يتم عرض رسم تخطيطي للمجالات المختلفة في الشكل 1. من الآن فصاعدا ، Ωc: = Rm Ωi ، انا = 0 ، 1 ، 2.
نحن نقدم التالية متحللة غير متجانسة ومتجانسة وسائل الاعلام المساعدة
نماذج:

لوظيفة معينه و inp H1/2 (Σ) ، ونحن نسعى إلى حقل موجه التكاثر ث حتى ان ث ولها اثر γΣw علي الحدود Σ تلبيه

∆ w + k2n2 w = 0 ، في Ω2 ،

(2.2)

في جميع انحاء المقالة ، ونحن نفترض ان هذه المشكلة الداخلية قابله للحل بشكل فريد. نحن نقدم التدوين التالي للمشغل للنموذج المساعدة غير المتجانسة: لأي Lipschitz م-أو (م 1)-الابعاد (المجال أو مشعب) D Ω2 ، ونحن تحديد مشغل الحل KDΣ المرتبطة بالنموذج المساعد (2.2) كما
الصفحة الواحدة: = w | D. (2.3)
ستكون قضيتان ذات اهميه خاصه بالنسبة لنا: KΩ العرض الواحد ، وهو لا شيء سوي w إرضاء-
2 Σ
ing (2.2) ، و KΓΣf inp = γΓw ، واثر الحل ث من (2.2) علي Γ ⊂ Ω2.

النتائج (العربية) 3:

و تفاصيل التنفيذفي الجزء الرابع ، ونحن تثبت كفاءة fem-bem الخوارزمية في محاكاة انتشار الموجات في نوعين مختلفين من
في إطار تحليل posedness التحلل
اسمحوا أوميغا 0.rm ، م ، د ، تكون ملزمةفي هذه الورقة ، فإننا نفترض أن معامل الانكسار وظيفة ن ، ووصف نسبة سرعة انتشار الموجات داخل المنطقة غير موحدة
مقطع ناعم ، 1-n لديه ضيق الدعم في أوميغا ، أي ن
العمل الرئيسي من هذه الورقة هو دراسة
الحادث موجة مثل موجة الطائرة رقم كأكثر دقة ،
نشر نموذج موجة مستمرة هو إيجاد مجال كامل ا
هذا هو
تلبية معادلة هلمهولتز والصليب الأحمر سوميرفيلد
و K2N2 و RM ، وحدة
المادة الثانية
تحميلهل تم ذلك ؟
كما هو معروف للجميع ، هو الحل الوحيدفي الجزء الخلفي من هذا القسم ، ونحن سوف أعرض الكلاسيكية سوبوليف المساحات هس
تحليل الإطار
من خلال إدخال اثنين من منحنيات الزائفة تلبية كل منمن الآن فصاعدا ، ونحن نفترض أنالرسم البياني الأول يعرض رسم من مجالات مختلفةمن الآن فصاعدا ، أنا ، أنا
في هذه الورقة ، فإننا نقدم غير متجانسة من التحلل و مساعدة
نموذج
للحصول على وظيفة معينة f-inp H1 ، ونحن الحصول على انتشار موجة المجال و يرضي
و K2N2 ، وحدة أوميغا ،
المادة الثانية
في هذه الورقة ، فإننا نفترض أن المشكلة الداخلية هي الحل الوحيدمن أجل مساعدة غير موحدة النموذج ، ونحن نقدم تمثيل المشغل ، أي lipschitz m-1-dimensional د أوميغا أوميغا ، ونحن تعريف كي دي
بين د و د ؟
ونحن مهتمون بصفة خاصة في حالتين ، وهي ك
سيجما
آثار الحلول على مجموعة من الحلول على مجموعة من Ⅱ أوميغا 2.2 و ز و ك سيجما