So, fractions must follow the rule:

So, fractions must follow the rule: halves and thirds cannot be added until they are converted to the same units. One such common unit is sixths: three sixths and two sixths are five sixths. The same goes for the standard algorithm for adding two multi-digit numbers. The reason to line up the columns is not because “that’s the way it’s done” but because that helps make sure one only adds things that are expressed in thesame units. The reason this “sum of 120 and 43” is wrong is that it tries to oops! add a 2 and a 3 (and a 1 and 4) that represent different things. The 2 couldbe tens, or dimes, and the 3 is ones, or pennies. The source of authority for all these addition rules is logical necessity. You can’t add apples and oranges!Why is it so important to recognize the source of authority—convention or logic—for each mathematical idea? Because one goal of school mathematics is to support the development of children’s reasoning. If all rules are arbitrary, or if no distinction is made, rules become divorced from, or even the enemy of, common sense. How often do we see people use (or cave in to) data and graphs, even when the “math” does not really support the argument!The fact that three-sided polygons are called triangles (among English speaking people) is also social agreement. So is notation, like the convention that the vertices of a triangle are labeled with capital letters, like A , B , and C , or that a side of ABC is written as AB , not ab or AB . The source of authority for 360° around a point (90° in a right angle) is that “that’s the way we define the words degree and angle and right angle,” and so on—again social agreement.But the fact that the three angles within a triangle have the same total measure as two right angles (what we call 180°) is not a matter of social agreement, or even a “natural law” discoverable by experimentation. It is logically necessary: one can show (prove) that the angles must add up that way. Most often, you are shown this necessity by a proof in a geometry text, but if you know the conventions (and have a bit of experience doing the math), you can reason out this result yourself.Conventions, like people’s names and addresses and phone numbers, may have patterns and reasons and history, but not logical necessity. Mathematics provides a beautiful counterpoint, an opportunity to see that some truths—such as the fact that the sum of two odd numbers must be even—are ones that students can reason out for themselves. Mathematics gives them a chance to practice that kind of reasoning. And only in mathematics is this appeal to logic-alone possible.Students commonly ask, in any subject: “Did I do it right?” “Is my answer correct?” Mathematics often lets students answer such questions themselves, helping them build a certain independence of learning and a confidence that can have benefits far beyond the math lesson. The student can say, “I can figure this out by myself, I don’t need books or authority figures. I can be the authority.” Seeing when this is true also help students learn to recognize when it is not true. Convention, cultural legacy, data from history or the physical world, and so on, are different, and require the authority of reliable outside sources (books, people, experiments).

النتائج (العربية) 1:

لذلك، يجب كسور متابعة القاعدة: لا يمكن إضافة نصفين وثلثي حتى يتم تحويلها إلى نفس الوحدات. واحدة من هذه الوحدة المشتركة هي أسداس: 3/6 و 2/6 وخمسة أسداس. الشيء نفسه ينطبق على خوارزمية القياسية لإضافة رقمين متعددة أرقام. والسبب أن يصطف الأعمدة ليس لأن "هذه هي الطريقة انها فعلت" ولكن لأن ذلك يساعد على التأكد من واحد يضيف فقط الأشياء التي يتم التعبير عنها في
نفس الوحدات. لهذا السبب "مبلغ 120 و 43" من الخطأ هو أنه يحاول عفوا! إضافة 2 و 3 (و 1 و 4) التي تمثل أشياء مختلفة. يمكن لل2
يكون عشرات، أو الدايمات، و3 هو منها، أو بنسات. مصدر السلطة لجميع هذه القواعد بالإضافة إلى ذلك هو ضرورة منطقية. لا يمكنك إضافة التفاح والبرتقال!
لماذا من المهم جدا أن نتعرف على مصدر سلطة اتفاقية أو منطق لكل فكرة الرياضية؟ لأن هدف واحد للرياضيات المدرسة لدعم تنمية التفكير للأطفال. وإذا كان كل القواعد التعسفية، أو إذا تم إجراء أي تمييز، تصبح قواعد الطلاق منه، أو حتى عدو، والحس السليم. كيف وغالبا ما نرى الناس استخدام (أو كهف في ل) البيانات والرسوم البيانية، وحتى عندما "الرياضيات" لا تدعم حقا الحجة!
حقيقة أن المضلعات ثلاثة من جانب وتسمى المثلثات (بين الإنجليزية يتحدث الناس) هو أيضا اتفاق اجتماعي. حتى لا يكون التدوين، مثل الاتفاقية التي القمم من مثلث وصفت مع حروف، مثل A، B، C و، أو أن جانب من ABC كما هو مكتوب AB، لا أب أو AB. مصدر السلطة ل 360 ° حول نقطة (90 درجة في الزاوية اليمنى) هو أن "هذه هي الطريقة التي نحدد درجة الكلمات وزاوية وزاوية"، وهلم جرا من جديد اتفاق اجتماعي.
ولكن الحقيقة أن الزوايا الثلاثة في مثلث لها نفس المقياس الكلي كما زاويتين قائمتين (ما نسميه 180 درجة) ليست مسألة الاتفاق الاجتماعي، أو حتى "القانون الطبيعي" اكتشافها عن طريق التجريب. ومن الضروري منطقيا: واحد يمكن أن تظهر (تثبت) أن زوايا يجب أن تضيف ما يصل بهذه الطريقة. في معظم الأحيان، وتظهر لك هذه الضرورة إثبات في نص الهندسة، ولكن إذا كنت تعرف الاتفاقيات (وقليلا من الخبرة القيام الرياضيات)، يمكنك التفكير جيدا هذه النتيجة بنفسك.
الاتفاقيات، مثل أسماء الناس والعناوين وأرقام الهاتف، قد يكون أنماط وأسباب وتاريخ، ولكن ضرورة عدم منطقية. تقدم الرياضيات الطباق جميلة، فرصة لنرى أن بعض الحقائق مثل حقيقة أن مجموع اثنين من الأعداد الفردية يجب أن يكون حتى-هي تلك التي يمكن للطلاب السبب لأنفسهم. الرياضيات يعطيهم فرصة لممارسة هذا النوع من التفكير. وفقط في الرياضيات هو هذا النداء إلى المنطق وحده ممكن.
الطلاب عادة، يسأل، في أي موضوع: "هل كنت تفعل ذلك الحق؟" "هل جوابي صحيح" الرياضيات غالبا ما يتيح الطلاب الإجابة عن هذه الأسئلة نفسها، ومساعدتهم على بناء استقلال معين من التعلم والثقة التي يمكن أن يكون لها فوائد ما هو أبعد من؟ درس رياضيات. ويمكن للطالب يقول: "أستطيع أن هذا الرقم من قبل نفسي، ولست بحاجة الكتب أو رموز السلطة. أنا يمكن أن تكون سلطة ". رؤية عند هذا صحيح أيضا مساعدة الطلاب على تعلم الاعتراف عندما لا يكون صحيحا. اتفاقية، والتراث الثقافي، وبيانات من تاريخ أو العالم المادي، وهلم جرا، مختلفة، وتتطلب سلطة المصادر الموثوقة خارج (الكتب، والناس، والتجارب).

النتائج (العربية) 2:

لذلك ، يجب ان تتبع الكسور القاعدة: لا يمكن أضافه نصفين والثلثين حتى يتم تحويلها إلى نفس الوحدات. واحده من هذه الوحدة المشتركة هي أسداس: ثلاثه أسداس واثنين من سته سته أسداس. وينطبق الشيء نفسه علي الخوارزميه القياسية لأضافه رقمين متعددي الأرقام. السبب ليصطف الاعمده ليس بسبب "هذه هي الطريقة التي يتم القيام به" ولكن لان ذلك يساعد علي التاكد من ان واحدا فقط يضيف الأشياء التي يتم التعبير عنها في
نفس الوحدات. والسبب في هذا "مجموع 120 و 43" هو الخطا هو انه يحاول عفوا! أضافه 2 و 3 (و 1 و 4) التي تمثل أشياء مختلفه. ال 2 استطاع
تكون عشرات ، أو dimes ، و 3 هي تلك ، أو بنسات. مصدر السلطة لجميع هذه القواعد أضافه ضرورة منطقيه. لا يمكنك أضافه التفاح والبرتقال!
لماذا من المهم جدا الاعتراف بمصدر السلطة-الاتفاقية أو المنطق-لكل فكره رياضيه ؟ لان هدف واحد من الرياضيات المدرسية هو دعم تطوير التفكير الأطفال. وإذا كانت جميع القواعد تعسفية ، أو إذا لم يتم التمييز ، تصبح القواعد مطلقه ، أو حتى عدو الحس السليم. كم مره نري الناس استخدام (أو كهف في إلى) البيانات والرسوم البيانية ، حتى عندما "الرياضيات" لا يدعم حقا حجه!
الحقيقة ان دعات مضلعات [ثري-سدد] مثلثات (بين [انغليش سبكينغ] الناس) أيضا اتفاق اجتماعيه. ذلك هو التدوين ، مثل الاتفاقية التي تسمي القمم لمثلث مع الأحرف الكبيرة ، مثل A ، B ، و C ، أو ان الجانب من  ABC هو مكتوب ك AB ، وليس ab أو AB. مصدر السلطة ل 360 درجه حول نقطه (90 درجه في زاوية الحق) هو ان "هذه هي الطريقة التي نحدد الكلمات درجه وزاوية وزاوية الحق" ، وهلم جرا-مره أخرى الاتفاق الاجتماعي.
ولكن حقيقة ان الزوايا الثلاث داخل المثلث لها نفس القياس الكلي لزاويتين صحيحتين (ما نسميه 180 درجه) ليست مساله اتفاق اجتماعي ، أو حتى "قانون طبيعي" قابل للاكتشاف عن طريق التجريب. فمن الضروري منطقيا: يمكن للمرء ان تظهر (إثبات) ان الزوايا يجب ان تضيف ما يصل بهذه الطريقة. في معظم الأحيان ، وتظهر لك هذه الضرورة من قبل دليل في نص الهندسة ، ولكن إذا كنت تعرف الاتفاقيات (ولها قليلا من الخبرة في القيام الرياضيات) ، يمكنك السبب في هذه النتيجة نفسك.
فالاتفاقيات ، مثل أسماء الناس وعناوينهم وأرقام هواتفهم ، قد تكون لها أنماط وأسباب وتاريخ ، ولكنها ليست ضرورة منطقيه. الرياضيات يوفر نقطه مضاده جميله ، وفرصه لنري ان بعض الحقائق-مثل حقيقة ان مجموع اثنين من الأرقام الفردية يجب ان يكون حتى-هي تلك التي يمكن للطلاب السبب لأنفسهم. الرياضيات تعطيهم فرصه لممارسه هذا النوع من المنطق. وفقط في الرياضيات هو هذا النداء إلى المنطق وحده ممكن.
يسال الطلاب عاده ، في اي موضوع: "هل فعلت ذلك بشكل صحيح ؟" "هل إجابتي صحيحه ؟" الرياضيات في كثير من الأحيان يتيح للطلاب الاجابه علي مثل هذه الاسئله أنفسهم ، ومساعدتهم علي بناء استقلال معين من التعلم والثقة التي يمكن ان يكون لها فوائد بعيدا عن الدرس الرياضيات. يمكن للطالب ان يقول: يمكنني معرفه هذا ، وانا لست بحاجه إلى الكتب أو أرقام السلطة. يمكنني ان أكون السلطة ". رؤية عندما يكون هذا صحيحا أيضا مساعده الطلاب علي تعلم التعرف علي عندما يكون غير صحيح. الاتفاقية ، والإرث الثقافي ، والبيانات من التاريخ أو العالم المادي ، وهلم جرا ، هي مختلفه ، وتتطلب سلطه من مصادر خارجيه موثوق بها (الكتب ، والناس ، والتجارب).

النتائج (العربية) 3:

ونتيجة لذلك ، يجب أن تتبع القواعد التالية التي يمكن أن تضاف إلا عن طريق تحويل نصف و ثلث في نفس الوحدةهذه الوحدة هي واحدة من ستة ، ثلث ستة ، ثلثي ستة ، خمسةهذا هو الحال مع اثنين من الخوارزميات القياسية إضافة أرقام متعددةالسبب في ترتيب هذه الأعمدة ليس لأن هذا هو كيف يعمل ، ولكن لأنه يساعد على ضمان أن يتم إضافتها فقط في
نفس الوحدةهذا المبلغ 120 و 43 هو الخطأ لأنه يحاولإضافة 2-3 و 1 و 4 تمثل محتوى مختلفيمكن أن
عشرة أو عشرة سنتات أو ثلاثة بنس واحدجميع مصادر السلطة هذه القواعد الإضافية ضرورية منطقيالا يمكنك إضافة التفاح والبرتقال
لماذا من المهم جدا أن نفهم الممارسات الرسمية أو مصادر منطقية لكل مفهوم رياضي ؟لأن أحد أهداف الرياضيات المدرسية هو دعم تنمية مهارات التفكير لدى الأطفالإذا كانت جميع القواعد هي تعسفية ، أو بدون تمييز ، القواعد سوف تكون خالية من الحس السليم ، أو حتى أعداء الحس السليمكم من الوقت سوف نرى الناس على استخدام البيانات والرسوم البيانية ، حتى لو كان الرياضيات لا تدعم هذه الحجة ؟
في الواقع ، المضلعات الثلاثية تسمى مثلث بين المتحدثين باللغة الإنجليزية هي أيضا نوع من التوافق الاجتماعيهذا هو الحال أيضا ، كما هو الحال في قمة المثلث علامة رأس المال ، مثل أ ، ب ، ج ، أو على حافة حروف AB بدلا من أب أو أبهذه هي الطريقة التي نحدد درجة زاوية الحق ، زاوية الحق ، وهلم جرا ، مرة أخرى ، هو الهوية الاجتماعية
ولكن في الواقع ، فإن الزوايا الثلاث داخل المثلث لها نفس المقياس الكلي مع اثنين من زوايا الحق ، ونحن نسميها 180.this ليست مسألة توافق الآراء الاجتماعي ، أو حتىمن المنطقي ، يمكننا أن نثبت أن الزوايا يجب أن تضاف بهذه الطريقةفي معظم الحالات ، دليل على هندسة النص يظهر لك ضرورة ، ولكن إذا كنت تعرف هذه الاتفاقيات و بعض التجارب الرياضية ، يمكنك استنتاج ذلك بنفسك
الممارسات ، مثل أسماء وعناوين وأرقام الهاتف ، قد يكون هناك أنماط وأسباب وتاريخ ، ولكن ليس من المنطقي ضرورةالرياضيات يوفر الطباق جميلة ، فرصة لاكتشاف الحقيقة ، مثل اثنين من الأعداد الفردية يجب أن يكون حتى أن الطلاب يمكن أن نستنتج ذلك بأنفسهمالرياضيات يعطيهم فرصة لممارسة هذا المنطقفقط في الرياضيات ، هذا النداء المنطقي ممكن
الطلاب عادة ما نسأل ، هل أنا على حق ؟هو جوابي الصحيح ؟الرياضيات غالبا ما تسمح للطلاب للإجابة على هذه الأسئلة بأنفسهم ومساعدتهم على بناء بعض الاستقلال والثقة في التعلم ، والتي يمكن أن تجلب المزيد من الفوائد من دروس الرياضياتأستطيع حل هذه المشكلة بنفسي و لا أحتاج إلى كتب أو شخصيات موثوقةأنا يمكن أن تصبح السلطة ، انظر إذا كان هذا صحيحا ، كما يساعد الطلاب على تعلم أن ندرك أن هذا ليس صحيحاالتقاليد والتراث الثقافي ، تاريخ أو بيانات العالم المادي ، وما إلى ذلك ، هي مختلفة ، تحتاج إلى مصدر خارجي موثوق