Harel‟s view, mathematics consists

Harel‟s view, mathematics consists of two complementary subsets: (a) the first consists of
institutionalized ways of understanding, which is a collection of established definitions, axioms,
theorems, proofs, problems, and solutions that have been accepted by the mathematical
community; and (b) the second is a collection of ways of thinking, which are conceptual tools
that are useful for the generation of the first subset (Harel, 2008). The distinction between ways
of thinking and ways of understanding underscores the importance of mathematical habits of
mind, which tend to be neglected in traditional mathematics curricula.
According to Harel‟s duality principle (2007), “Students develop ways of thinking only
through the construction of ways of understanding, and the ways of understanding they produce
are determined by the ways of thinking they possess” (p. 272). This principle asserts that ways of
thinking cannot be improved independently of ways of understanding, and vice versa. Hence,
Harel advocates that both ways of understanding and ways of thinking should be incorporated as
learning objectives for students.
In their introductory article to a special issue on advanced mathematical thinking that
considered symbolizing, mathematizing, algorithmatizing, defining, and reasoning, Selden and

النتائج (العربية) 2:

هرئيل "ليالي الرأي، وتتكون الرياضيات اثنين من مجموعات فرعية متكاملة: (أ) يتكون الأول من
طرق مؤسسية التفاهم، والتي هي عبارة عن مجموعة من التعريفات المعمول بها، البديهيات،
النظريات، براهين والمشاكل والحلول التي تم قبولها من قبل الرياضي
المجتمع ؛ و (ب) والثاني هو عبارة عن مجموعة من طرق التفكير، والتي هي الأدوات المفاهيمية
التي هي مفيدة للجيل فرعية الأولى (هاريل، 2008). التمييز بين طرق
التفكير وسبل التفاهم يؤكد على أهمية العادات الرياضية
للعقل، والتي تميل الى ان تكون مهملة في مناهج الرياضيات التقليدية.
ووفقا لهاريل "ليالي مبدأ ازدواجية (2007)،" تطوير الطلاب طرق التفكير فقط
من خلال بناء من سبل التفاهم، وسبل التفاهم التي تنتجها
هي التي تحدد طرق التفكير لديهم "(ص 272). يؤكد هذا المبدأ أن طرق
التفكير لا يمكن أن تتحسن بشكل مستقل عن سبل التفاهم، والعكس بالعكس. وبالتالي،
يدعو هاريل أن كلا سبل التفاهم وطرق التفكير ينبغي أن تدرج كما
أهداف التعلم للطلاب.
وفي المادة التمهيدية لعدد خاص عن التفكير الرياضي المتقدمة التي
تعتبر رمزا، mathematizing، algorithmatizing، وتحديد، والمنطق، وسلدن

النتائج (العربية) 3:

هاريل "ليالي عرض الرياضيات يتكون من اثنين من مجموعات فرعية متكاملة: (أ) الأولى تتكون من طرق فهم
مؤسسية، وهو مجموعة من التعاريف الموضوعة، والبديهيات،
نظريات، براهين، المشاكل والحلول التي تمت الموافقة عليها من جانب رياضي
المجتمع المحلي؛ و ((ب) والثانية هي مجموعة من طرق التفكير، وهي أدوات مفاهيمية
التي هي مفيدة في توليد اول فرعية (هاريل، 2008).الفرق بين طرق
التفكير وطرق التفاهم يؤكد أهمية العادات الرياضية
العقل، والتي تميل الى ان تكون مهملة في التقليدية مناهج الرياضيات
وحسب هاريل "S ازدواجية المبدأ (2007)،" الطلاب على تطوير طرق التفكير فقط
من خلال تشييد طرق التفاهم و طرق فهم ينتجونها
هي التي تحدد طرق التفكير لديهم ” (p. ٢٧٢).هذا المبدأ يؤكد أنه لا يمكن تحسين طرق التفكير
بصرف النظر عن طرق فهم، والعكس بالعكس.ومن ثم،
هاريل ينادي بأن كل سبل التفاهم و طرق التفكير ينبغي أن تدرج بوصفها
أهداف التعلم للطلاب -
في كلمتيهما المادة إلى عدد خاص عن التفكير الرياضي المتقدمة التي
ترى ترمز mathematizing algorithmatizing وتعريف و المنطق سلدن