Habit of Mind 4: Analyzing Answers,

Habit of Mind 4: Analyzing Answers, Problems, and MethodsChecking and analyzing answers. When we were kids, checking meant only doing the problem again, or working backward from the answer—checking a subtraction with an addition, for example. Checking has another, richer meaning—reviewing an answer for reasonableness. You can tell when students are trying to make sense when you hear chains of thought like these:• I added two numbers, but my answer is less than one of them, so something must be wrong.• My answer is three-and-a-third busses. That makes no sense!• The area of rectangle A is 24 square inches, and I got 50 square inches for rectangle B’s area. This looks OK because B looks much bigger. Oh, and if I place A here on top of B, there is about enough space for another copy of A next to it, so B is about twice as big as A. My answer seems correct.Students must see that even where computations are required, common sense remains central.Tinkering with the problem. When a student has found, justified, and made sense of an answer, it’s time to step back and see how the whole problem (statement, solution, and answer) fits in a bigger picture. Can other problems be solved with the same method?How can the answer to this problem be applied elsewhere? Can this problem be extended or generalized to address new situations? This, in turn, leads to one of the most powerful ideas of all: that even (in fact, especially!) in mathematics, one can ask what-if questions. The what-if has to be taken seriously to see what its consequences really are. But only as children see that this is ok—that asking what-if questions is a genuine part of the “mathematical game”—can they feel completely free to suggest such questions themselves (see Goldenberg & Walter, 2002; Brown & Walter, 1990).Creating and analyzing algorithms. There is, today, intense debate about whether children should be learning standard algorithms or making up their own. We’re inclined to think that the reason the debate rages on is that there’s wisdom on both sides: neither answer is sufficient by itself. On the one hand, a standard algorithm6 gives students a general method for solving certain kinds of problems. On the other hand, the process of inventing approaches of their own involves students in analyzing the problems and answers and in developing the kinds of ideas—generally quite algebraic (though without the specialized notation)—that may help them understand and appreciate a general algorithm. In fact, creating a good algorithm requires reflecting on the steps required for solving a problem, then generalizing these steps in a way that can solve a class of similar problems. Each approach contributes something important.These reasons for standard and student-generated algorithms are given from the teacher’s perspective. There is also something we want students to realize as they work6 “The” standard algorithm is quite another story. Algorithms vary from society to society, and some are more efficient than the ones we call standard. For example, the addition algorithm we typically call standard in the US works from right to left, and is safe and efficient on large columns of multidigit numbers. If only two or three multidigit numbers are to be summed (the much more usual situation facing people now) a left-to-right approach is equally efficient, makes mental computation easier, and ties in more closely with other mathematical ideas and curricular goals such as estimation and rounding.

النتائج (العربية) 1:

عادة العقل 4: تحليل الأجوبة، مشاكل، وطرق
فحص وتحليل الأجوبة. عندما كنا صغارا، والتحقق من المفترض القيام فقط المشكلة مرة أخرى، أو العمل الى الوراء من الطرح مع بالإضافة إلى ذلك، على سبيل المثال-التحقق من الجواب. فحص له آخر، أكثر ثراء المعنى، مراجعة جوابا لمعقولية. يمكن أن أقول لكم عندما الطلاب يحاولون جعل الشعور عندما تسمع سلاسل الفكر مثل هذه:
• أضفت رقمين، ولكن جوابي هو أقل من واحد منهم، لذلك يجب أن يكون شيئا خاطئا.
• جوابي هو ثلاث سنوات الثالثة ووالحافلات. أن لا معنى له!
• تبلغ مساحة مستطيل هو 24 بوصة مربعة، وحصلت على 50 بوصة مربعة لمنطقة المستطيل ب. هذا يبدو موافق لB يبدو أكبر من ذلك بكثير. أوه، وإذا أضع هنا على رأس B، هناك حوالي مساحة كافية لنسخة أخرى من A بجانبه، لذلك B عبارة عن ضعف كبير مثل A. جوابي يبدو الصحيحة.
يجب على الطلاب يرون أنه حتى التي تتطلب حسابات، لا يزال الحس السليم المركزي.
ترقيع مع المشكلة. عندما وجدت أحد الطلاب، ما يبرره، وجعل الشعور جوابا، لقد حان الوقت لخطوة إلى الوراء ونرى كيف المشكلة برمتها (البيان، حل، والجواب) نوبات في الصورة الأكبر. يمكن أن تحل مشاكل أخرى مع نفس الأسلوب؟
كيف يمكن الإجابة على هذه المشكلة يمكن تطبيقها في مكان آخر؟ ويمكن تمديد هذه المشكلة أو تعميمها على معالجة الأوضاع الجديدة؟ وهذا، بدوره، يؤدي إلى واحدة من أكثر الأفكار القوية للجميع: انه حتى (! في الواقع، لا سيما) في الرياضيات، يمكن للمرء أن يسأل ماذا لو الأسئلة. وماذا لو أن تؤخذ على محمل الجد لنرى ما هي عواقبه حقا. ولكن فقط كما يرى الأطفال أن هذا على ما يرام التي يسأل ما اذا الأسئلة هو جزء حقيقي من "لعبة رياضية" هل يمكن أنهم يشعرون خال تماما تشير إلى مثل هذه الأسئلة نفسها (انظر غولدنبرغ والتر، 2002؛ براون والتر، 1990 ).
إنشاء وتحليل الخوارزميات. هناك، اليوم، نقاشا حادا حول ما إذا كان ينبغي أن يكون الأطفال يتعلمون خوارزميات القياسية أو يشكلون بأنفسهم. نحن يميل إلى الاعتقاد بأن السبب يحتدم النقاش حول أن هناك حكمة في كلا الجانبين: لا إجابة كافية في حد ذاته. من ناحية، وalgorithm6 معيار يعطي الطلاب طريقة عامة لحل أنواع معينة من المشاكل. من ناحية أخرى، فإن عملية اختراع تقترب من تلقاء نفسها تنطوي على الطلاب في تحليل المشكلات والأجوبة وفي تطوير أنواع الأفكار عموما جبري جدا (على الرغم من دون تدوين المتخصصة) المفتى قد تساعدهم على فهم وتقدير خوارزمية العامة . في الواقع، وخلق خوارزمية جيدة يتطلب التفكير في الخطوات المطلوبة من أجل حل مشكلة، ثم تعميم هذه الخطوات في الطريقة التي يمكن أن تحل فئة من مشاكل مماثلة. كل نهج يساهم شيء مهم.
ونظرا لهذه الأسباب لخوارزميات القياسية ولدت الطالب من وجهة نظر المعلمين. وهناك أيضا شيء نريد الطلاب لتحقيق وهم يعملون

6 "و" الخوارزمية القياسية تماما قصة أخرى. تختلف خوارزميات من مجتمع إلى آخر، وبعضها أكثر فعالية من تلك التي نسميها القياسية. على سبيل المثال، الخوارزمية بالإضافة إلى ذلك فإننا ندعو عادة القياسية في الولايات المتحدة تعمل من اليمين إلى اليسار، وآمنة وفعالة على أعمدة كبيرة من الأرقام multidigit. إذا سوى اثنين أو ثلاثة أرقام multidigit هي تلخيص (الوضع أكثر من المعتاد بكثير التي تواجه الناس الآن) نهج اليسار إلى اليمين فعال على حد سواء، يجعل الحساب الذهني أسهل، والعلاقات في أكثر بشكل وثيق مع الأفكار الرياضية الأخرى وأهداف المناهج الدراسية مثل هذه كما التقدير والتقريب.

النتائج (العربية) 2:

عاده العقل 4: تحليل الإجابات والمشاكل والأساليب
التحقق من الإجابات وتحليلها. عندما كنا أطفالا ، التحقق يعني فقط القيام بالمشكلة مره أخرى ، أو العمل إلى الوراء من الجواب-التحقق من الطرح مع أضافه ، علي سبيل المثال. التدقيق له معني آخر أكثر ثراء-مراجعه أجابه عن المعقولية. يمكنك معرفه متى يحاول الطلاب ان يكون لهم معني عندما تسمع سلاسل من الفكر مثل هذه:
• لقد أضفت رقمين ، ولكن إجابتي هي اقل من واحد منهم ، لذلك يجب ان يكون هناك شيء خاطئ.
• إجابتي هي حافلات ثلاثه وثالثه. هذا لا معني له!
• مساحة المستطيل A 24 بوصه مربعه ، وحصلت علي 50 بوصه مربعه لمنطقه المستطيل ب. هذا يبدو جيدا لان B تبدو أكبر بكثير. آوه ، وإذا وضعت A هنا علي راس B ، هناك حوالي مساحة كافيه لنسخه أخرى من A بجواره ، لذلك B حوالي ضعف كبير مثل A. إجابتي تبدو صحيحه
ويجب ان يري الطلاب انه حتى في الحالات التي يلزم فيها الحسابات ، يظل الحس السليم مركزيا.
التلاعب بالمشكلة عندما وجد الطالب ، مبرره ، وجعلت الشعور بالاجابه ، حان الوقت لخطوه إلى الوراء ونري كيف المشكلة برمتها (البيان ، والحل ، والجواب) يناسب في صوره أكبر. هل يمكن حل المشاكل الأخرى بنفس الطريقة ؟
كيف يمكن تطبيق الاجابه علي هذه المشكلة في مكان آخر ؟ هل يمكن توسيع هذه المشكلة أو تعميمها لمعالجه الحالات الجديدة ؟ هذا ، بدوره ، يؤدي إلى واحده من اقوي الأفكار للجميع: انه حتى (في الواقع ، وخصوصا!) في الرياضيات ، يمكن للمرء ان نسال ماذا لو الاسئله. وما إذا كان يجب ان يؤخذ علي محمل الجد لمعرفه ما هي عواقبه حقا. ولكن فقط كما يري الأطفال ان هذا لا باس به-ان يسال ماذا-إذا كانت الاسئله جزءا حقيقيا من "لعبه رياضيه"-يمكن ان يشعروا بحريه تامه لاقتراح مثل هذه الاسئله نفسها (انظر Goldenberg & Walter, 2002; براون ووالتر ، 1990).
إنشاء وتحليل الخوارزميات. هناك ، اليوم ، نقاش مكثف حول ما إذا كان ينبغي ان يتعلم الأطفال الخوارزميات القياسية أو التي تشكل الخاصة بهم. ونحن نميل إلى الاعتقاد بان السبب الذي يجعل النقاش محتدما هو ان هناك حكمه من كلا الجانبين: فالجواب لا يكفي في حد ذاته. من ناحية ، algorithm6 القياسية يعطي الطلاب طريقه عامه لحل أنواع معينه من المشاكل. ومن ناحية أخرى ، فان عمليه اختراع النهج الخاصة بهم تنطوي علي الطلاب في تحليل المشاكل والاجوبه وفي تطوير أنواع الأفكار-عموما جبري تماما (علي الرغم من دون التدوين المتخصصة)-التي قد تساعدهم علي فهم نقدر خوارزميه عامه. في الواقع ، إنشاء خوارزميه جيده يتطلب التفكير في الخطوات المطلوبة لحل مشكله ، ثم تعميم هذه الخطوات بطريقه يمكن ان تحل فئة من المشاكل المماثلة. كل نهج يساهم شيئا مهما.
وتعطي هذه الأسباب لخوارزميات القياسية والتي تولدها الطالب من وجهه نظر المعلم. هناك أيضا شيء نريد ان يدركه الطلاب وهم يعملون

6 "الخوارزميه القياسية هي قصه أخرى تماما. خوارزميات تختلف من المجتمع إلى المجتمع ، وبعضها أكثر كفاءه من تلك التي نسميها القياسية. علي سبيل المثال ، خوارزميه الاضافه التي نسميها عاده في الولايات الامريكيه تعمل من اليمين إلى اليسار ، وأمنه وفعاله علي أعمده كبيره من أرقام متعددة الأرقام. إذا كان فقط اثنين أو ثلاثه أرقام متعددة الأرقام ليتم تلخيصها (الوضع أكثر من ذلك بكثير المعتادة التي تواجه الناس الآن) نهج من اليسار إلى اليمين هو نفس القدر من الكفاءة ، ويجعل الحساب العقلي أسهل ، والعلاقات بشكل أوثق مع غيرها من الأفكار الرياضية وأهداف المناهج مثل التقدير والتقريب.

النتائج (العربية) 3:

عادات التفكير 4-analysis الإجابات والأسئلة والأساليب
فحص وتحليل الإجاباتعندما كنا صغارا ، الشيكات يعني أننا بحاجة فقط إلى القيام به مرة أخرى ، أو العودة من الإجابة ، مثلالتحقق من أن هناك معنى آخر أكثر ثراء ، أي التحقق من معقولية الإجابةعندما تسمع مثل هذه السلسلة من التفكير ، يمكنك أن تعرف عندما تحاول الطلاب أن تقول الحقيقة
• أضفت رقمين ، ولكن جوابي لا يصل إلى واحد منهم ، لذلك يجب أن يكون هناك مشكلة
• جوابي هو ثلث الحافلاتهذا غير منطقي
• مساحة المستطيل ألف 24 بوصة مربعة ، مساحة المستطيل بهذا يبدو جيداً لأن ب يبدو أكبر بكثيرأوه ، إذا كنت وضعت أ على ب ، وهناك مساحة كافية لوضع نسخة أخرى من أ إلى ب ، لذلك ب هو حوالي مرتين
يجب على الطلاب أن يفهموا أن الحس السليم لا يزال جوهر حتى لو كان الحساب المطلوب
أصلح هذه المشكلةعندما يجد الطالب إجابة ، يجد الجواب الصحيح ، هو الوقت المناسب للعودة إلى الوراء لنرى كيف أن السؤال كلههل هناك أي مشاكل أخرى يمكن حلها بنفس الطريقة ؟
كيف يمكن تطبيق هذا السؤال إلى أماكن أخرى ؟هل يمكن توسيع هذه المشكلة أو الترويج لها في حالة جديدة ؟وهذا بدوره يؤدي إلى واحدة من أقوى الأفكار حتىفي الرياضيات ، يمكن للمرء أن يسأل أسئلة افتراضيةإذا كان يجب أن تأخذ على محمل الجد ، انظر ما هي العواقبولكن فقط عندما يدرك الأطفال أنه إذا كان السؤال هو الجزء الحقيقي من لعبة الرياضيات ، اسأل ما إذا كان السؤال هو ممكن ، فإنها يمكن أن تكون حرة تماما في طرح مثل هذه الأسئلة بأنفسهم
إنشاء وتحليل الخوارزمياتاليوم ، هناك الكثير من الجدل حول ما إذا كان الأطفال يجب أن تعلم الخوارزميات القياسية أو الخاصة بهمونحن نميل إلى الاعتقاد بأن هذه الحجة كانت عنيفة لأن كلا الجانبين لديهم الحكمةمن ناحية ، معيار خوارزمية يوفر للطلاب طريقة عامة لحل بعض المشاكلمن ناحية أخرى ، فإن عملية ابتكار أساليب خاصة بها تشمل الطلاب على تحليل الأسئلة والأجوبة ، وتطوير الأفكار التي عادة ما تكون جبرية إلى حد مافي الواقع ، إنشاء خوارزمية جيدة يتطلب التفكير في الخطوات اللازمة لحل المشكلة ، ثم يلخص هذه الخطوات بطريقةكل طريقة لها دور مهم
من وجهة نظر المعلمين ، فإن هذه الورقة تقدم بعض الأسباب القياسيةونحن نأمل أيضا أن الطلاب يدركون
الخوارزمية القياسية هو شيء آخر تمامابعض الخوارزميات هي أكثر كفاءة من تلك التي نسميها معيار الخوارزمياتعلى سبيل المثال ، في الولايات المتحدة ، ونحن عادة ما يسمى standard خوارزمية الجمع يعمل من اليمين إلى اليسار ، وآمنة وفعالة على عدد كبير من الأعمدة.إذا كان هناك اثنين أو ثلاثة فقط من الأرقام التي تم الحصول عليها من أجل الجمع ، في ظل ظروف أكثر انتشارا التي يواجهها الناس الآن ، طرق من اليسار إلى اليمين هي فعالة على حد سواء ، مما يجعل من الأسهل بالنسبة الحساب النفسي ، وربط مع غيرها من الأفكار الرياضية و